STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR

  • Deni Nugroho Universitas Negeri Semarang
  • Rahayu Budhiati Veronica Universitas Negeri Semarang
  • Mashuri Mashuri Universitas Negeri Semarang
Keywords: group, homomorphism, k-algebra, k-subalgebra, k-homomorphis

Abstract

K-aljabar merupakan struktur aljabar <G,*,⊙,e>, di mana G merupakan grup terhadap operasi biner * dengan elemen identitas e, operasi ⊙ didefinisikan oleh ∀x,y∈G,x⊙y=x*y-1, dan memenuhi kelima aksioma dari K-aljabar. Konsep yang diterapkan dalam K-aljabar hampir sama dengan konsep dalam grup. Jika dalam grup terdapat subgrup dan homomorfisma grup, maka dalam K-aljabar terdapat K-subaljabar dan K-homomorfisma. Penelitian ini membahas mengenai struktur dan sifat-sifat yang terkait dengan K-aljabar, K-subaljabar, dan K-homomorfisma. Tujuan penelitian ini adalah menjelaskan struktur dan sifat-sifat dari kajian K-aljabar, K-subaljabar, dan K-homomorfisma. Penelitian ini menggunakan metode kajian pustaka, dengan cara mengumpulkan berbagai sumber dan teorema-teorema yang mendukung pada kajian K-aljabar. Pada  penelitian ini dapat disimpulkan: 1) Dalam K-aljabar berlaku sifat-sifat berikut; hukum kanselasi; Suatu K-aljabar <G,*,⊙,e> dikatakan komutatif jika ∀x,g∈G berlaku g⊙(e⊙x)=x⊙(e⊙g) 2) K-subaljabar memiliki sifat sebagai berikut; misalkan <G,*,⊙,e> K-aljabar dan g∈G. Jika H suatu subgrup dari G, maka Hg2={g⊙(g⊙x)│x∈H} adalah suatu K-subaljabar dari <G,*,⊙,e>. 3) Homomofisma K-aljabar φ:K1→K2 memiliki sifat-sifat sebagai berikut; ∀x1∈K1,x2∈K2 berlaku φ(e1)=e2; φ(e1⊙x1 )=e1⊙φ(x1 ); φ(x1⊙x2)=e1⇔φ(x1)=φ(x2); dan jika H1 adalah K-subaljabar dari K1 maka φ(K1) adalah K-subaljabar dari K2.

K-algebra is an algebraic structure <G,*,⊙,e>, when G is a group of the binary operation * with identity element e, the operation ⊙ defined by ∀x,y∈G,x⊙y=x*y-1, and fulfill the five axioms of K-algebra. The concept is applied in the K-algebra is similar to the concept of the group. If in the group there is a subgroup and group homomorphism, then in K-algebra is K-subalgebra and K-homomorphism. This study discusses the structure and properties associated with the K-algebra, K-subalgebra, and K-homomorphism. The purpose of this study is to explain the structure and properties of the study of K-algebra, K-subalgebra, and K-homomorphism. This study used literature review, by collecting a variety of sources and theorems that support the study of K-algebra. In this study it can be concluded: 1) In K-algebra have following properties; applicable with cancelation law; K-algebra <G,*,⊙,e> is commutative if ∀x,g∈G apply g⊙(e⊙x)=x⊙(e⊙g). 2) K-subalgebra have the following properties; eg <G,*,⊙,e> K-algebra and g∈G. If H subgroup of G, then Hg2={g⊙(g⊙x)│x∈H} is K-subalgebra of <G,*,⊙,e>. 3) K-algebra homomorphism φ:K1→K2 has properties follows; ∀x1∈K1,x2∈K2 apply φ(e1)=e2; φ(e1⊙x1 )=e2⊙φ(x1); φ(x1⊙x2 )=e2⇔φ(x1)=φ(x2); and if H1 is K-subalgebra of K1 then φ(K1) is K-subalgebra of K2.

 

References

Anton, H. 2000. Dasar-dasar Ajabar Linear. Batam:Interaksara.
Block, N. J. 2009. Abstract Algebra with Applications. New Jersey: Prentice-Hall Inc.
Dar, K. H dan Akram, M. 2006. On subclasses of K(G)-algebras. Annals of University of Craiova, Math. Comp. Sci. Ser. 2006:33:235-240.
Dar, K. H dan Akram, M. 2007. On K-Homomorphisms of K-Algebras. University of the Punjab. IMF. 2007:2:2283-2293.
Dar, K. H dan Akram, M. 2010. Characterization of K-Algebras by self maps II. Annals of University of Craiova, Math. Comp. Sci. Ser. 2010:37:96-103.
Dar, K. H dkk. 2006. A note on left K(G)-algebas. SEA Bull. Math. 2006:30.
Fraleigh, J. B. 1989. A First Course in Abstract Algebra. Columbia: Addison Wesley.
Handam, A. H. 2012. Soft K(G)-Algebras. Tamkang Jourenal of Mathematics. 2012:43:203-213.
Judson, T. W. 2013. Abstract Algebra Theory and Applications. Stephen F. Austin State University.
Milne, J. S. 2013. Group Theory. Course Notes
Setiawan, A. 2011. Aljabar Abstrak (Teori Grup dan Teori Ring). Salatiga: UKSW.
Published
2017-10-20
Section
Articles